牛顿运动定律、万有引力定律

例1  质量为m的物体放在A地的水平面上，用竖直向上的力F拉物体，物体的加速度a与拉力F的关系如图线①所示，质量为m′的另一物体在B地做类似实验，测得a－F关系如图线②所示，设两地的重力加速度分别为g和g′，则　　　 (　 )

A.m′＞m g′=g

B.m′＜m g′=g　　　　　　　　　　　　　　　

C.m′=m g′＞g

D.m′=m g′＜g

该题要求学生利用牛顿第二定律培养借助数学图像分析问题的能力。

在A地，由牛顿第二定律：F-mg=ma 有a=

-g= F-g

同理：在B地 a=

F-g′

这是一个a关于F的函数

(或 )表示斜率，-g(或-g′)表示截距，由图线可知 ＜ g=g′故m＞m′,g=g′选 项B正确

 

例2  如图所示，

天平左边放着盛水的杯，杯底用轻线系一木质小球，右边放着砝码，此时天平平衡，若轻线发生断裂，在小球加速上升过程中，不计水阻力，天平将(　　　 )?

A.左盘下降　　　　 B.右盘下降

C.保持平衡　　　　 D.左盘先下降后上升

(该题综合重心和失重的知识，培养学生采用整体法思考问题的能力。)

当悬线断裂，小球加速上升过程中，杯子、水、小球组成的整体的重心下降，即重心具有向下的加速度。系统处于失重状态，对天平托盘的压力减小，故失去平衡。选项B正确。

 

例3 如图，质量为m，长l的均匀木板AB，安装在光滑轴O 上，并可绕轴O在竖直平面内

转动。木板静止时与水平面的夹角θ＝37°，在滑轮上用细绳 连接着一个质量为m的物体C与另一个质量为3m的物体D，已知C与木板间的滑动摩擦系数μ=0 .5，木板两端A、B离轴O的距离分别为 =0.3L, =0.7L。问：物体 C由静止开始运动到距B端多远木板开始转动?取g=10米/秒²这是综合动力学、运动学以及平衡问题的题目，根据题意要用隔离法研究问题。

先分别取C、D为研究对象，列出动力

解得T＝1.5mg　　 N=N′=mgcosθ=0.8mg

再以木板为研究对象，设物体C滑至离开B端x处时木板开始转动，根据上图中的右图出对转轴O的平衡方程，则

Tcosθ· =Gcosθ +N′( -x)

即　　　 0.8T×0.3L=0.8G×0.2L+N′(0.7L-x)

x=0.45L即滑至离B端0.45L处木板开始转动

 

例4 如图所示，AB杆水平固定，另一细杆可绕AB杆上方距AB高为h的O轴摆动，两杆都穿过光滑的P环.当细杆绕O轴以角速度ω逆时针转动到与竖直线成45°角时，环的运动

速度是多大??

该题根据运动的独立性原理将复杂的运动分解成我们所熟悉的圆周运动。

P环的运动是沿AB杆的，这种运动是合运动，其沿AB杆的速度是合速度，当细杆与竖直方向成45°角时，P环的速度为v，v可看成是由两个互相垂直的分速度合成，一个是垂直于杆的v_线，另一个是沿杆方向的v′，v_线是P环随杆摆动做圆周运动的线速 度v_线=ωR，R=h/cos45°

环的速度v

= =2ωh

例5 在天体运动中，把两颗相距较近的恒星称为双星。已知两恒星质量分别为M₁ 、M₂，两星之间距离为l，两恒星分别绕共同的圆心做圆周运动，如图所示，求各

个恒星的半径和角速度。

 

 

 

 

天体在万有引力定律提供向心力的情况下做圆周运动，可利用牛顿第二定律的特征来进行研究。

两星构成的系统动量守恒，两恒星的角速度相同，且R₁+R₂=L，所以有m₁v₁=m ₂v₂,v₁=ωR₁,v₂=ωR₂代入上式

得m₁R₁=m₂(L-R₁)

解得R₁=

,R₂=

万有引力等于向心力G

=m₂ω²R₂

ω=

例6　如图，A端封闭的U型管，水平管的长度为L，其中充满了水银，竖直管的高度 为H，封闭管中装有压强为1大气压的空气，为使水银上升到封闭管的一半高，问U型管以多大转速绕OO′轴转动，且知L＞

直槽面方向平衡：mgcosθ+Bqv=N

沿豈?斜槽方向加速：mgsinθ-μN=ma

随着v增加，N值增大，则a不断减小

所以A、B两球沿斜槽下滑均做变加速直线运动，且a_A＞a_B随着A变加速直线下滑，它与滑槽间压力逐渐趋于零，直至脱离槽面。以后A将在磁场力和重力作用下做曲线运动。而B将随着运动速度的增大越来越紧压槽面，直至出现μN=mgsinθ，B沿斜槽匀速下滑。

所以A、B沿斜槽最大位移的关系：S_A＜S_B 选项C、D正确?

(该题综合热学，圆周运动等知识培养学生综合分析问题的能力。)

研究对象为封闭端空气柱，由玻耳定律

有P_oH·S=P₂

·S，P₂=2P_o

水平管最右端处压强为p_右=p₂+ρ_g

=2P_o+ρg

由牛顿第二定律有(p_右-p_o)s=ma_向=m(2πn)²R其中m=ρs(L-

)

R=

(L- )+ = (L+ )

 

 

解得n=

例7 质量m=2×10^-8kg的带电粒子，以速度Vo=2m/s的速度从水平放置的平行板A、B的中央水平飞入电场，已知金属板长L=0.1m，板间距离d=1×10^-2m，当U_AB=1000v时，带电粒子恰好沿直线穿过电场，如

图，若两板间的电势差可调，要使粒子能从两板间飞出，U_AB的变化范围是多少?(g取10m/s²)该题要求学生把带电粒子 在电场中的运动与牛顿第二定律综合起来分析问题。

当U_AB=1000v时，由平衡条件

mg=

∴q=

= =2×10^-12(c)

粒子飞越时间t=

= =0.05(s)

当极板电压变化时，粒子获得侧向加速度

= a_maxt²

∴a_max=

= )=4(m/s²)

根据牛顿第二定律

-mg=ma_max

∴U_max=

= =1400(v)

当粒子向下偏转 mg-

=ma_max

∴U_min=

=600(v)

U_AB取值　 600v＜U_AB＜1800v

例8 如图所示，匀强磁场垂直纸面向里，有一足够长的等腰三角形绝缘滑槽，两侧斜槽与水平夹角为θ，在斜槽的顶点两侧各放一个质量相等、带等量负电荷的小球A和B，两小球与斜槽摩擦系数相等，且μ＜tg

，将两小球同时由静止释放，下面说法正确的是(　 )

A.两球沿斜槽都做匀加速运动，且加速度相等

B.两球沿斜槽都做匀加速运动，且a_A＞a_B

C.两球沿斜槽都做变加速运动，且a_A＞a_B

D.两球沿斜槽的最大位移关系是S_A＜S_B

该题涉及到带电粒子在磁场中的运动及牛顿第二定律的应用，要求学生能综合知识进行推理。A球在斜槽上的运动分析：

垂直槽面方向平衡：mgcosθ-Bqv=N

沿斜槽方向加速：mgsinθ-μN=ma

随着v增加，N值减小，则a不断增大。

B球运动分析：

垂直槽面方向平衡：mgcosθ+Bqv=N

沿豈?斜槽方向加速：mgsinθ-μN=ma

随着v增加，N值增大，则a不断减小

所以A、B两球沿斜槽下滑均做变加速直线运动，且a_A＞a_B随着A变加速直线下滑，它与滑槽间压力逐渐趋于零，直至脱离槽面。以后A将在磁场力和重力作用下做曲线运动。而B将随着运动速度的增大越来越紧压槽面，直至出现μN=mgsinθ，B沿斜槽匀速下滑。

所以A、B沿斜槽最大位移的关系：S_A＜S_B 选项C、D正确?