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矩阵的相似对角化是考研的重要考点,该部分内容既可以出大题,也可以出小题。所以同学们必须学会如何判断一个矩阵可对角化,现把该部分的知识点总结如下:
 
一般方阵的相似对角化理论
 
这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件,会判断给定的矩阵是否可以相似对角化,另外还要会矩阵相似对角化的计算问题,会求可逆阵以及对角阵。事实上,矩阵相似对角化之后还有一些应用,主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上,这些应用在历年真题中都有不同的体现。
 
1.判断方阵是否可相似对角化的条件
 
(1)充要条件:An可相似对角化的充要条件是:An有n个线性无关的特征向量;
 
(2)充要条件的另一种形式:An可相似对角化的充要条件是:An的k重特征值满足; 
 
(3)充分条件:如果An的n个特征值两两不同,那么An一定可以相似对角化;
 
(4)充分条件:如果An是实对称矩阵,那么An一定可以相似对角化。
 
【注】分析方阵是否可以相似对角化,关键是看线性无关的特征向量的个数,而求特征向量之前,必须先求出特征值。
 
2.求方阵的特征值
 
(1)具体矩阵的特征值
 
这里的难点在于特征行列式的计算:方法是先利用行列式的性质在行列式中制造出两个0,然后利用行列式的展开定理计算;
 
(2)抽象矩阵的特征值
 
抽象矩阵的特征值,往往要根据题中条件构造特征值的定义式来求,灵活性较大。
 
实对称矩阵的相似对角化理论
 
其实质还是矩阵的相似对角化问题,与一般方阵不同的是求得的可逆阵为正交阵。这里要求大家除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外,还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,在考试的时候会经常用到这些考点的。
 
这块的知识出题比较灵活,可直接出题,即给定一个实对称矩阵A,让求正交阵使得该矩阵正交相似于对角阵;也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A;另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的,这样还可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向量,从而确定出矩阵A。
 
最重要的是,掌握了实对称矩阵的正交相似对角化就相当于解决了实二次型的标准化问题。
 
1.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质
 
(1)不同特征值的特征向量一定正交
 
(2)k重特征值一定满足 
 
【注】由性质(2)可知,实对称矩阵一定可以相似对角化;且有(1)可知,实对称矩阵一定可以正交相似对角化。
 
2.会求把对称矩阵正交相似化的正交矩阵
 
【注】熟练掌握施密特正交化的公式;特别注意的是:只需要对同一个特征值求出的基础解系进行正交化,不同特征值对应的特征向量一定正交(当然除非你计算出错了会发现不正交)。
 
3.实对称矩阵的特殊考点
 
实对称矩阵一定可以相似对角化,利用这个性质可以得到很多结论,比如:
 
(1)实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数
 
这个结论只对实对称矩阵成立,不要错误地使用。
 
(2)两个实对称矩阵,如果特征值相同,一定相似
 
同样地,对于一般矩阵,这个结论也是不成立的。
 
4.实对称矩阵在二次型中的应用
 
使用正交变换把二次型化为标准型使用的方法本质上就是实对称矩阵的正交相似对角化。