如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·（B）

如果事件A在一次试验中的发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为：

球的表面积公式为： ，其中R表示球的半径。

球的体积公式为： ，其中R表示球的半径。

1．已知实数x，y满足x+y－1=0，则x²+y²的最小值为

（A）         （B）2       （C）      （D）

2．每个顶点的棱数均为三条的正多面体共有

（A）2种      （B）3种     （C）4种     （D）5种

3．等比数列中，a₁+a₂=2，a₃+a₄=50，则公比q的值为

（A）25       （B）5      （C）－5        （D）±5

4．在以O为原点的平面直角坐标系中，点A（4，－3）为Rt△OAB的直角顶点，已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零，则AB=

（A）（6，8）                    （B）（－6，－8）

（C）（8，6）或（－8，－6）      （D）（6，8）或（－6，－8）

5．已知直线L将圆x²+y²－2x－4y=0平分且不过第四象限，则直线L的斜率的取值范围是

（A）[ ， ]     （B）[0， ]       （C）[－2，2]      （D）[0，2]

6．棱长为 的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁外接于球O，则球心O到平面BC₁D的距离等于

（A）       （B）       （C）        （D）

7．在抽查某产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b]是其中的一组抽查出的个体数，在该组上的频数为m，该组上的直方图的高为h，则|a－b|等于

（A）h·m      （B）         （C）        （D）与m，n无关

8．椭圆 的长轴为A₁A₂，短轴为B₁B₂，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使A₁点的平面B₁A₂B₂上的射影恰好是该椭圆的右焦点，则此二面角的大小为

（A）30°   （B）45°    （C）60°    （D）75°

9．△ABC的内角A满足sinA+cosA＞0，tanA－sinA＜0，则角A的取值范围是

（A）（0， ）   （B）（ ， ）   （C）（ ， ）   （D）（ ）

10．a、b为实数且b－a=2，若多项式函数f(x)在区间(a，b)上的导数f′(x)满足f′(x)＜0，则一定成立的关系式是

（A）f(a)＜f(b)                 （B）f(a+1)＞f(b－ )

（C）f(a+1)＞f(b－1)            （D）f(a+1)＞f(b－ )

11．已知：函数f(x)=lg(x+8)的反函数记为f^－1(x)，如果f^－1(2x)、f^－1(lg12)、f^－1(x+1)成等差数列，则x的值为

（A）lg12       （B）lg6     （C）lg4      （D）lg2

12．天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为 元（n∈N^*），使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少）为止，一共使用了

（A）800天    （B）1000天    （C）1200天     （D）1400天

13．点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是抛物线y²=8x的两个点，已知y₁y₂=16，则直线AB一定恒过一个定点，该定点的坐标为___________。

14．二项式(1+x)^2n－1（n∈N^*）的展开式中，系数最大的项是_______________________。

15．f(x)定义在实数集R上，且满足下列性质：①f(0)=1，②f(1)= ，③x∈ 时，0＜f(x)≤1，④f(x)在区间 上是减函数，试写出一个这样的函数f(x)的解析表达式____________。

16．1，2，……，9这9个数字填在九宫格的每一个空格中，

 

要求每一行从左到右依次增大，当数字4固定在九宫中心位置

时，所有填写空格的方法共有_________种，（用具体数字作答）

 

 

17．（本小题满分12分）

函数f(x)=ax³+bx²+cx+d的图象关于原点对称，且在x=1时取得极小的值 。

（1）确定f(x)的解析式；

（2）证明：当x∈[－1，1]时，图像上存在两点A、B，使过这两点A、B处的切线互相垂直。

 

 

 

 

 

 

18．（本小题满分12分）

袋中共有红球和白球10个，其中红球个数不少于3个，现从袋中任意取出3个球，问袋中有多少个红球时，使取得的球全为同色球的概率最小？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19．（本小题满分12分）

四棱锥P－ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥平面ABCD，E为PC的中点。

（1）证明：BE‖平面PAD；

（2）假定PA=AD，求证：BE⊥平面PCD；

（3）假定PA=AD=CD，求二面角E－BD－C的平面角的余弦值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20．（本小题满分12分）

△ABC的三个内角A、B、C的对边的长分别为a、b、c，有下列两个条件：（1）a、b、c成等差数列。（2）a、b、c成等比数列，现给出三个结论：（1） ，（2） ，（3） ，请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之。

 

 

 

 

 

 

 

 

21．（本小题满分12分）

已知P（－48，0），点Q在x轴上，点N在y轴上，点M在直线NQ上，满足PN·MN=0，MN=－2MQ。

（1）当点Q、N运动时，求证：动点M的轨迹是抛物线；

（2）是否存在过该抛物线的焦点的直线L，使得L与此抛物线的交点A、D及L与圆O₁：x²+y²－4x+3=0的交点B、C，并且A、B、C、D在直线 上依次排列，满足|AB|、2|BC|、|CD|成等差数列？若存在，求出直线L的方程；若不存在，请说明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22．（本小题满分14分）

设函数f(x)在实数集R上有定义，对任意的x₁、x₂∈R，x₁≠x₂，都有|f(x₁)－f(x₂)|≤|x₁－x₂|，且有数列{a_n}满足f(a_n)+a_n=2a_n+1，n∈N^*

（1）若存在实数c，使f(c)=c，且对正整数k，1≤a_k≤c，求证：a_k+1≤c；

（2）是否存在实数c，使得f(c)=c，1≤a₁≤c，且对所有n∈N^*， 恒成立？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17．解：（1）∵f(x)的图象关于原点对称

  ∴f(－x)≡－f(x)，即－ax³+bx²－cx+d≡－ax³－bx²－cx－d

  ∴bx²+d=0     ∴b=d=0……………………………………………………………………2分

 又f(x)在x=1时取得极小值          ∴f′(1)=0及f(1)= ………………………4分

但f′(x)=3ax²+c     ∴3a+c=0及a+c=    解得a= ，c=－1

∴f(x)= ………………………………………………………………………………6分

（2）设结论成立，即存在A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且x₁，x₂∈[－1，1]且x₁＜x₂，则

f′(x₁)·f′(x₂)=－1，而f′(x)=x²－1    ∴

∴   ①…………………………………………………………9分

但x₁，x₂∈[－1，1]且x₁＜x₂     ∴

∴        ………………②

①与②矛盾，故假设错误，即图像上不存在两点，使过这两点处的切线互相垂直。…12分

18．设x，y分别为红球和白球的个数，则有x+y=10，x，y∈N₊，x≥3………………2分

从10个球中任取3个球，全为红色的概率为 ，

全为白色的概率为 ，…………………………………………4分

上述两个事件互斥，故取出3个球全为同色球的概率为：

…8分

又∵x+y=10，       ∴xy≤ =25，

此时x=y=5，       因此当x=5时，P最小，此时P= ………………………………12分

19．解：以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x、y、z轴建立平面直角坐标系。

设|AB|=a＞0，|AD|=d＞0，|AP|=p＞0，则|CD|=2a，由题意得

A（0，0，0），B（a，0，0），D（0，d，0），C（2a，d，0），P（0，0，p），E（a， ）

于是BE=（0， ），AD=（0，d，0），AP=（0，0，p）。

设BE=λAD+μAP，则（0， ）=λ（0，d，0）+μ（0，0，p）=（0，λd，μp）

∴      ∴

∴BE= AD+ AP，又AD、AP为平面PAD的一组基向量且BE 平面PAFD

∴BE‖平面PAD………………………………………………………………………………4分

（2）DC=（2a，0，0），DP=（0，－d，p）

∴BE·DC=（0， ）·（2a，0，0）=0，BE·DP=（0， ）·（0，－d，p）=

∴p=d         即BE⊥平面PCD时，p=d，即 ………………………………8分

(3)当PA=AD=CD时，2a=d，D(0，2a，0)，C(2a，2a，0)，E(a，a，a)  BD=（－a，2a，0）

设F∈BD，BF=kBD=k（－a，2a，0）=（－ak，2ak，0），而BF=BA+AF

∴AF=BF－BA=（－ak，2ak，0）－（－a，0，0）=（a－ak，2ak，0）

∴F（a－ak，2ak，0）

设点G（a－ak₁，2ak₁，0）∈BD，H（a－ak₂，2ak₂，0）∈BD，

则GC=（a+ak₁，2a－2ak₁，0），HE=（ak₂，a－ak₂，a）

∵GC⊥BD，HE⊥BD

∴

∴      ∴    ∴GC·HE= · =

，

…………………………………12分

20．可以组建命题一：△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（1）0＜B≤

（2） ；

命题二：△ABC中，若a、b、c成等差数列求证：（1）0＜B≤

（2）1＜ ≤

命题三：△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（1）

（2）1＜ ≤

命题四：△ABC中，若a、b、c成等比数列，求证：（1）0＜B≤

（2）1＜ ≤

………………………………………………………………………………………………4分

下面给出命题一、二、三的证明：

（1）∵a、b、c成等差数列∴2b=a+c，∴b=

≥

且B∈（0，π），∴0＜B≤

（2）

（3）

∵0＜B≤ ∴ ∴ ∴

下面给出命题四的证明：

（4）∵a、b、c成等比数列∴b²=a+c，

且B∈（0，π），∴0＜B≤ ………………………………………………………………12分

评分时若构建命题的结论仅一个但给出了正确证明，可判6分；若构建命题完全正确但论证仅正确给出一个，可判8分；若组建命题出现了错误，应判0分，即坚持错不得分原则。

21．解：（1）设M(x,y)，N(o,n)，Q(q,o)，又P(－48,0)

∴PN=(48,n)，MN=(－x,n－y)，MQ=(q－x,－y)

∵MN=－2MQ，∴(－x,n－y)=－2(q－x,－y)=(－2q+2x,2y)

∴    ∴    ∵PN·MN=0 ∴(48,n)·(－x,n－y)=0

∴－48x+n(n－y)=0      ∴－48x+3y(3y－y)=0   ∴y²=8x

这就是所求的点M的轨迹方程，由此可知点M的轨迹是抛物线…………………………5分

（2）抛物线的焦点F（2，0），设以F为圆心，1为半径的圆为⊙F。假设满足题意的直线L存在。因|AB|、2|BC|、|CD|成等差数列，∴|AB|+|CD|=4|BC|，又因为ABCD在直线L上依次排列，∴|AD|=|AB|+|CD|+|BC|=5|BC|=10。………………………………………………7分

若直线L的斜率不存在时，L的方程为：x=2，则L与抛物线交于A（2，－4），D（2，4）。

此时|AB|=4－1=3，|BC|=2，|CD|=4－1=3，不满足|AB|、2|BC|、|CD|成等差数列。

…………………………………………………………………………………………………8分

故直线L的斜率存在，设为k，于是直线L的方程为：y=k(x－2)，显然k不为零，代入抛物线的方程得：k²x²－(4k²+8)x+4k²=0

设A(x₁,y₁)，D(x₂,y₂)，∴x₁+x₂= ，x₁x₂=4，于是

所以 ，∴k=±2

故满足题意的直线L的方程为：y=2(x－2)或y=－2(x－2)

即y=2x－4或y=－2x－4……………………………………………………………………12分

22．解：（1）根据题设|f(x₁)－f(x₂)|≤|x₁－x₂|得

|f(a_k)－f(c)|≤|a_k－c|=c－a_k，又f(a_k)=2a_k+1－a_k，f(c)= c

∴|2a_k+1－a_k－c|≤c－a_k   即得a_k－c≤2a_k+1－a_k－c≤c－a_k

于是a_k≤2a_k+1≤c………………………………………………………………………………6分

（2）假设存在实数c，满足 ，由（1）得

1≤a₁≤a₂≤…≤a_n≤c…………………………………………………………………………8分

设 在 上是增函数，在 上是减函数，于是得g(a_n)≤g(c)=2c²－c……………………………………………………………………12分

从而，对所有 恒成立当且仅当